Butterworthův filtr: nízkoprůchodový Butterworthův filtr prvního řádu a druhého řádu

Elektrické filtry mají mnoho aplikací a jsou široce používány v mnoha obvodech pro zpracování signálu. Slouží k výběru nebo eliminaci signálů vybrané frekvence v úplném spektru daného vstupu. Filtr se tedy používá pro umožnění procházení signálů zvolené frekvence nebo pro eliminaci signálů zvolené frekvence procházející skrz.

V současné době je k dispozici mnoho typů filtrů, které se v mnoha ohledech liší. V předchozích cvičeních jsme se zabývali mnoha filtry, ale nejoblíbenější diferenciace je založena na,

Analogové nebo digitální
Aktivní nebo pasivní
Audio nebo vysokofrekvenční
Výběr frekvence

Analogové nebo digitální filtry

Víme, že signály generované prostředím mají analogickou povahu, zatímco signály zpracovávané v digitálních obvodech mají digitální povahu. K dosažení požadovaného výsledku musíme použít odpovídající filtry pro analogové a digitální signály. Při zpracování analogových signálů tedy musíme používat analogové filtry a při zpracování digitálních signálů používat digitální filtry.

Aktivní nebo pasivní filtry

Filtry jsou také rozděleny na základě komponent použitých při navrhování filtrů. Pokud je konstrukce filtru zcela založena na pasivních součástech (jako je rezistor, kondenzátor a induktor), pak se filtr nazývá pasivní filtr. Na druhou stranu, pokud při navrhování obvodu používáme aktivní složku (operační zesilovač, zdroj napětí, zdroj proudu), pak se filtr nazývá aktivní filtr.

Více populárně ačkoli aktivní filtr je upřednostňován před pasivním, protože mají mnoho výhod. Níže je uvedeno několik těchto výhod:

Žádný problém s načítáním: Víme, že v aktivním obvodu používáme operační zesilovač, který má velmi vysokou vstupní impedanci a nízkou výstupní impedanci. V takovém případě, když připojíme aktivní filtr k obvodu, bude proud odebíraný operačním zesilovačem velmi zanedbatelný, protože má velmi vysokou vstupní impedanci, a proto obvod po připojení filtru nebude mít žádnou zátěž.
Flexibilita nastavení zisku: V pasivních filtrech není možné zesílení nebo zesílení signálu, protože nebudou existovat žádné konkrétní komponenty, které by takový úkol prováděly. Na druhé straně v aktivním filtru máme operační zesilovač, který může poskytnout vysoký zisk nebo zesílení signálu vstupním signálům.
Flexibilita úpravy frekvence: Aktivní filtry mají vyšší flexibilitu při úpravě mezní frekvence ve srovnání s pasivními filtry.

Filtry založené na zvukové nebo rádiové frekvenci

Komponenty použité při návrhu filtru se mění v závislosti na použití filtru nebo na tom, kde se používá nastavení. Například RC filtry se používají pro audio nebo nízkofrekvenční aplikace, zatímco LC filtry se používají pro rádiové nebo vysokofrekvenční aplikace.

Filtry založené na výběru frekvence

Filtry jsou také rozděleny na základě signálů procházejících filtrem

Dolní propust:

Všechny signály nad vybranými frekvencemi jsou zeslabeny. Jsou dvou typů - aktivní dolní propust a pasivní dolní propust. Níže je uvedena frekvenční odezva dolnofrekvenčního filtru. Tečkovaný graf je zde ideálním grafem dolní propusti a čistý graf je skutečnou odezvou praktického obvodu. Stalo se to proto, že lineární síť nemůže produkovat nespojitý signál. Jak je znázorněno na obrázku poté, co signály dosáhnou mezní frekvence fH, dojde k útlumu a po určité vyšší frekvenci se signály dané na vstupu úplně zablokují.

Horní propust:

Všechny signály nad vybranými frekvencemi se objeví na výstupu a signál pod touto frekvencí se zablokuje. Jsou dvou typů - aktivní horní propust a pasivní horní propust. Níže je uvedena frekvenční odezva hornoprůchodového filtru. Zde je tečkovaný graf ideálním grafem pro horní propust a čistý graf je skutečnou odezvou praktického obvodu. Stalo se to proto, že lineární síť nemůže produkovat nespojitý signál. Jak je znázorněno na obrázku, dokud signály nemají frekvenci vyšší než mezní frekvence fL, dochází k útlumu.

Pásmový filtr:

V tomto filtru se na výstupu mohou objevit pouze signály zvoleného kmitočtového rozsahu, zatímco signály jakékoli jiné frekvence se zablokují. Frekvenční odezva pásmového filtru je uvedena níže. Tečkovaný graf je zde ideálním grafem pásmového filtru a čistý graf je skutečnou odezvou praktického obvodu. Jak je znázorněno na obrázku, signály ve frekvenčním rozsahu od fL do fH mohou procházet filtrem, zatímco signály jiných frekvenčních útlumů. Další informace o Band Pass filtru najdete zde.

Filtr odmítnutí pásma:

Funkce filtru odmítnutí pásma je přesným opakem filtru pásmové propusti. Všechny frekvenční signály, které mají hodnotu frekvence ve zvoleném pásmovém rozsahu poskytnutém na vstupu, jsou blokovány filtrem, zatímco na výstupu se mohou objevit signály jakékoli jiné frekvence.

All pass filtr:

Tímto filtrem mohou procházet signály jakékoli frekvence, kromě toho, že dojde k fázovému posunu.

Na základě aplikace a nákladů může návrhář vybrat vhodný filtr z různých typů.

Ale zde vidíte na výstupních grafech požadované a skutečné výsledky nejsou úplně stejné. Ačkoli je tato chyba v mnoha aplikacích povolena, někdy potřebujeme přesnější filtr, jehož výstupní graf směřuje spíše k ideálnímu filtru. Této téměř ideální odezvy lze dosáhnout použitím speciálních konstrukčních technik, přesných komponent a vysokorychlostních operačních zesilovačů.

Butterworth, Caur a Čebyšev jsou jedny z nejčastěji používaných filtrů, které poskytují téměř ideální křivku odezvy. V nich budeme diskutovat o filtru Butterworth, protože je to nejoblíbenější ze tří.

Hlavní vlastnosti filtru Butterworth jsou:

Jedná se o filtr založený na RC (rezistor, kondenzátor) a operační zesilovač (operační zesilovač)
Jde o aktivní filtr, takže lze v případě potřeby upravit zisk
Klíčovou charakteristikou Butterworthu je, že má ploché propustné pásmo a ploché zastavovací pásmo. Z tohoto důvodu se obvykle nazývá „plochý filtr“.

Nyní pro lepší pochopení probereme obvodový model Low Pass Butterworth filtru.

Nízkoprůchodový Butterworthův filtr první objednávky

Obrázek ukazuje obvodový model nízkoprůchodového máslového filtru prvního řádu.

V okruhu máme:

Napětí „Vin“ jako signál vstupního napětí, který je analogové povahy.
Napětí „Vo“ je výstupní napětí operačního zesilovače.
Rezistory „RF“ a „R1“ jsou odpory negativní zpětné vazby operačního zesilovače.
V obvodu je přítomna jedna RC síť (označená červeným čtvercem), takže filtr je nízkoprůchodový filtr prvního řádu
„RL“ je odpor zátěže připojený na výstupu operačního zesilovače.

Pokud použijeme pravidlo děliče napětí v bodě „V1“, pak můžeme dostat napětí přes kondenzátor jako, V ₁ = V _v Zde -jXc = 1 / 2ᴫfc

Po nahrazení této rovnice budeme mít něco jako níže

V ₁ = Vi _n / (1 + j2ᴫfRC)

Nyní se operační zesilovač používá v konfiguraci negativní zpětné vazby a v takovém případě je rovnice výstupního napětí dána jako, V ₀ = (1 + R _F / R ₁) V _1.

Toto je standardní vzorec a můžete se podívat na obvody operačních zesilovačů pro další podrobnosti.

Pokud zadáme rovnici V1 do Vo, budeme mít, V0 = (1 + R _F / R ₁)

Po přepsání této rovnice můžeme mít, V ₀ / V _in = A _F / (1 + j (f / f _L))

V této rovnici

V ₀ / V _in = zesílení filtru jako funkce frekvence
AF = (1 + R _F / R ₁) = zisk propustného pásma filtru
f = frekvence vstupního signálu
f _L = 1 / 2ᴫRC = mezní frekvence filtru. Tuto rovnici můžeme použít k výběru vhodných hodnot rezistoru a kondenzátoru k výběru mezní frekvence obvodu.

Pokud převedeme výše uvedenou rovnici do polárního tvaru, budeme mít,

Tuto rovnici můžeme použít ke sledování změny velikosti zesílení se změnou frekvence vstupního signálu.

Případ 1: f < L . Uvažujme tedy, že vstupní frekvence je mnohem menší než mezní frekvence filtru,

Když je tedy vstupní frekvence velmi menší než mezní frekvence filtru, velikost zisku je přibližně stejná jako zisk smyčky operačního zesilovače.

Případ 2: f = f _L. Pokud se vstupní frekvence rovná mezní frekvenci filtru, pak

Když se tedy vstupní frekvence rovná mezní frekvenci filtru, velikost zisku je 0,707násobek zisku smyčky operačního zesilovače.

Case3: f> f _L. Pokud je vstupní frekvence vyšší než mezní frekvence filtru, pak

Jak můžete vidět na vzoru, zisk filtru bude stejný jako zisk op-zesilovače, dokud nebude frekvence vstupního signálu menší než mezní frekvence. Jakmile ale frekvence vstupního signálu dosáhne mezní frekvence, zisk se nepatrně sníží, jak je vidět v případě dvou. A jak se frekvence vstupního signálu ještě zvyšuje, zisk se postupně snižuje, dokud nedosáhne nuly. Takže dolní propustí Butterworth filtr umožňuje vstupní signál se objeví na výstupu, dokud se frekvence vstupního signálu je nižší než mezní frekvence.

Pokud jsme nakreslili graf frekvenční odezvy pro výše uvedený obvod, budeme mít,

Jak je vidět na grafu, zisk bude lineární, dokud frekvence vstupního signálu nepřekročí hodnotu mezní frekvence a jakmile se to stane, zisk se podstatně sníží, stejně tak hodnota výstupního napětí.

Nízkoprůchodový filtr Butterworth druhého řádu

Obrázek ukazuje obvodový model nízkoprůchodového filtru Butterworth druhého řádu.

V okruhu máme:

Napětí „Vin“ jako signál vstupního napětí, který je analogové povahy.
Napětí „Vo“ je výstupní napětí operačního zesilovače.
Rezistory „RF“ a „R1“ jsou odpory negativní zpětné vazby operačního zesilovače.
V obvodu je přítomna dvojitá RC síť (označená červeným čtvercem), proto je filtr dolnopropustného filtru druhého řádu.
„RL“ je odpor zátěže připojený na výstupu operačního zesilovače.

Odvození nízkoprůchodového filtru Butterworth druhého řádu

Filtry druhého řádu jsou důležité, protože filtry vyššího řádu jsou navrženy s jejich použitím. Zisk druhého řádu filtru se nastavuje R1 a RF, přičemž mezní frekvence f _H je určen R ₂, R ₃, C ₂ & C ₃ hodnoty. Odvození pro mezní frekvenci je uvedeno následovně, f _H = 1 / 2ᴫ (R ₂ R ₃ C ₂ C ₃) ^1/2

Rovnici zesílení napětí pro tento obvod lze také najít podobným způsobem jako dříve a tato rovnice je uvedena níže,

V této rovnici

V ₀ / V _in = zesílení filtru jako funkce frekvence
A _F = (1 + R _F / R ₁) zisk propustného pásma filtru
f = frekvence vstupního signálu
f _H = 1 / 2ᴫ (R ₂ R ₃ C ₂ C ₃) ^1/2 = mezní frekvence filtru. Tuto rovnici můžeme použít k výběru vhodných hodnot rezistoru a kondenzátoru k výběru mezní frekvence obvodu. Rovněž pokud zvolíme stejný odpor a kondenzátor v RC síti, stane se rovnice,

Můžeme rovnici zesílení napětí pozorovat změnu velikosti zesílení s odpovídající změnou frekvence vstupního signálu.

Případ 1: f < H . Uvažujme tedy, že vstupní frekvence je mnohem menší než mezní frekvence filtru,

Když je tedy vstupní frekvence velmi menší než mezní frekvence filtru, velikost zisku je přibližně stejná jako zisk smyčky operačního zesilovače.

Případ 2: f = f _H. Pokud se vstupní frekvence rovná mezní frekvenci filtru, pak

Když se tedy vstupní frekvence rovná mezní frekvenci filtru, velikost zisku je 0,707násobek zisku smyčky operačního zesilovače.

Case3: f> f _H. Pokud je vstupní frekvence skutečně vyšší než mezní frekvence filtru, pak

Podobně jako u filtru prvního řádu bude zisk filtru stejný jako zisk operačního zesilovače, dokud nebude frekvence vstupního signálu menší než mezní frekvence. Jakmile ale frekvence vstupního signálu dosáhne mezní frekvence, zisk se nepatrně sníží, jak je vidět v případě dvou. A jak se frekvence vstupního signálu ještě zvyšuje, zisk se postupně snižuje, dokud nedosáhne nuly. Nízkoprůchodový Butterworthův filtr tedy umožňuje, aby se vstupní signál objevil na výstupu, dokud není frekvence vstupního signálu nižší než mezní frekvence.

Pokud nakreslíme graf frekvenční odezvy pro výše uvedený obvod, budeme mít,

Možná vás zajímá, kde je rozdíl mezi filtrem prvního řádu a filtrem druhého řádu ? Odpověď je v grafu, pokud pozorně sledujete, můžete vidět, že když frekvence vstupního signálu překročí mezní frekvenci, graf dostane strmý pokles a tento pokles je patrnější ve druhém řádu ve srovnání s prvním. S tímto strmým sklonem bude filtr Butterworth druhého řádu více nakloněn směrem k ideálnímu grafu filtru ve srovnání s filtrem Butterworth jednoho řádu.

To je stejné pro dolní řád Butterworth Low Pass Filter, Forth Order Butterworth Low Pass Filter a tak dále. Čím vyšší je pořadí filtru, tím více se graf zisku nakloní k ideálnímu grafu filtru. Pokud nakreslíme graf zisku pro filtry Butterworth vyššího řádu, budeme mít něco takového,

V grafu představuje zelená křivka ideální křivku filtru a můžete vidět, jak se pořadí Butterworthova filtru zvyšuje, jeho graf zisku se více nakloní směrem k ideální křivce. Takže vyšší je pořadí Butterworth filtrem vybrali více ideál zisk křivka bude. S tím se říká, že nemůžete snadno vybrat filtr vyššího řádu, protože přesnost filtru klesá s nárůstem pořadí. Proto je nejlepší zvolit pořadí filtru a přitom dbát na požadovanou přesnost.

Derivace nízkoprůchodového filtru Butterworth druhého řádu --liter

Po zveřejnění článku jsme dostali e-mail od Keitha Vogela, který je elektrotechnikem v důchodu. Všiml si široce medializované chyby v popisu nízkoprůchodového filtru ^2. řádu a nabídl své vysvětlení k nápravě, které je následující.

Dovolte mi, abych to napravil:

A pak řekněte, že mezní frekvence -6 dB je popsána rovnicí:

f _c = 1 / (

)

To však prostě není pravda! Přiměme vás, abyste mi věřili. Vytvořme obvod, kde R1 = R2 = 160 a C1 = C2 = 100nF (0,1uF). Vzhledem k rovnici bychom měli mít -6 dB frekvenci:

f _c = 1 / (

) = 1 / (2

* 160 * 100 * 10 ^-9) ~ 9,947 kHz

Pojďme simulovat obvod a uvidíme, kde je bod -6 dB:

Simuluje to na 6,33 kHz, NE 9,947 kHz; ale simulace NENÍ NESPRÁVNÁ!

Pro vaši informaci jsem použil -6.0206db místo -6db, protože 20log (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 je trochu bližší číslo než -6 a abych získal přesnější simulovanou frekvenci našich rovnic, chtěl jsem použít něco trochu bližšího než jen -6 dB. Pokud bych opravdu chtěl dosáhnout frekvence načrtnuté rovnicí, potřeboval bych vyrovnávací paměť mezi ^1. a ^2. fází filtru. Přesnější obvod naší rovnice by byl:

A tady vidíme, že náš -6,0206db bod simuluje na 9,945kHz, mnohem blíže k našim vypočítaným 9,947kHZ. Doufejme, že mi věříte, že došlo k chybě! Nyní si promluvme o tom, jak k chybě došlo, a proč je to jen špatné inženýrství.

Většina popisů bude začínat nízkoprůchodovým filtrem ^1. řádu s impedancí následovně.

A získáte jednoduchou přenosovou funkci:

H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)

Pak řeknou, že pokud dáte 2 z nich dohromady a vytvoříte filtr ^2. řádu, dostanete:

H (s) = H ₁ (S) * H ₂ (s).

Kde H ₁ (s) = H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1)

Což při výpočtu povede k rovnici fc = 1 / (2π√R1C1R2C2). Zde je chyba, odezva H ₁ (s) NENÍ nezávislá na H ₂ (s) v obvodu, nemůžete říci H ₁ (s) = H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1).

Impedance H ₂ (s) ovlivňuje odezvu H ₁ (s). A proto tento obvod funguje, protože operační zesilovač izoluje H ₂ (s) od H ₁ (s)!

Takže teď budu analyzovat následující okruh. Zvažte náš původní obvod:

Pro zjednodušení udělám R1 = R2 a C1 = C2, jinak se matematika opravdu zapojí. Až budeme hotovi, měli bychom být schopni odvodit skutečnou přenosovou funkci a porovnat ji s našimi simulacemi pro ověření.

Pokud řekneme, že Z ₁ = 1 / sC paralelně s (R + 1 / sC), můžeme obvod překreslit jako:

Víme, že V ₁ / V _in = Z ₁ / (R + Z ₁); Kde Z ₁ může být komplexní impedance. A pokud se vrátíme zpět k původnímu obvodu, můžeme vidět Z ₁ = 1 / sC paralelně s (R + 1 / sC)

Také je vidět, že Vo / V ₁ = 1 / (src + 1), který je H ₂ (s). Ale H ₁ (s) je mnohem složitější, je to Z ₁ / (R + Z ₁), kde Z ₁ = 1 / sC - (R + 1 / sC); a NENÍ 1 / (sRC + 1)!

Pojďme tedy prozkoumat matematiku pro náš obvod; pro speciální případ R1 = R2 a C1 = C2.

My máme:

V ₁ / V _in = Z ₁ / (R + Z ₁) Z ₁ = 1 / sC - (R + 1 / sC) = (sRC + 1) / ((sC) ² R + ² sC) Vo / V ₁ = 1 / (sRC + 1)

A nakonec

Vo / V _in = * = * = * = * = *

Tady vidíme, že:

H ₁ (s) = (sRC + 1) / ((sCR) ² + 3 sRC + 1)…

ne 1 / (sRC + 1) H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1)

A..

Vo / V _v = H ₁ (S) * H ₂ (s) = * = 1 / ((SRC) ² + 3sRC + 1)

Víme, že bod -6 dB je (

/ 2) ² = 0,5

A víme, že když je velikost naší přenosové funkce na 0,5, jsme na frekvenci -6 dB.

Pojďme to tedy vyřešit:

-Vo / V _in - = -1 / ((sRC) ² + 3 sRC + 1) - = 0,5

Nechť s = jꙍ, máme:

-1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1) - = 0,5 -1 / ((jꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 0,5 - (((jꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- (ꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) ²) + 3jꙍRC- = 2

Chcete-li zjistit velikost, vezměte druhou odmocninu druhé mocniny skutečných a imaginárních výrazů.

sqrt ((((1- (ꙍRC) ²) ² + (3ꙍRC) ²) = 2

srovnat obě strany:

(((1- (ꙍRC) ²) ² + (3ꙍRC) ² = 4

Rozšiřování:

1 - 2 (ꙍRC) ² + (ꙍRC) ⁴ + 9 (ꙍRC) ² = 4

1 + 7 (ꙍRC) ² + (ꙍRC) ⁴ = 4

(ꙍRC) ⁴ + 7 (ꙍRC) ² + 1 = 4

(ꙍRC) ⁴ + 7 (ꙍRC) ² - 3 = 0

Nechť x = (ꙍRC) ²

(x) ² + 7x - 3 = 0

Použití kvadratické rovnice k řešení pro x