Maxwellovy rovnice jsou základem elektromagnetické teorie, která představuje soubor čtyř rovnic týkajících se elektrického a magnetického pole. Namísto výčtu matematické reprezentace Maxwellových rovnic se v tomto článku zaměříme na skutečný význam těchto rovnic. Maxwellova první a druhá rovnice se zabývají statickými elektrickými poli a statickými magnetickými poli. Maxwellova třetí a čtvrtá rovnice se zabývá změnou magnetických polí a změnou elektrických polí.
Maxwellovy rovnice jsou:
- Gaussův zákon o elektřině
- Gaussův zákon magnetismu
- Faradayův zákon indukce
- Ampereův zákon
1. Gaussův zákon elektřiny
Tento zákon stanoví, že elektrický tok z uzavřeného povrchu je úměrný celkovému náboji uzavřenému tímto povrchem. Gaussův zákon se zabývá statickým elektrickým polem.
Uvažujme kladný bodový náboj Q. Víme, že čáry elektrického toku jsou směrovány ven z kladného náboje.
Uvažujme o uzavřeném povrchu s Charge Q uzavřeným v něm. Vektor oblasti je vždy vybrán Normální, protože představuje orientaci povrchu. Nechť úhel vytvořený vektorem elektrického pole s vektorem plochy je θ.
Elektrický tok ψ je
Důvodem pro výběr bodového součinu je, že musíme vypočítat, kolik elektrického toku prochází povrchem představovaným vektorem normální plochy.
Z coulombsova zákona víme, že elektrické pole (E) v důsledku bodového náboje je Q / 4πε 0 r 2.
Vzhledem k sférické symetrii je integrální forma Gaussova zákona:
Proto je elektrický tok Ψ = Q uzavřený / ε 0
Zde Q uzavřený představuje vektorový součet všech nábojů uvnitř povrchu. Oblast obklopující náboj může mít jakýkoli tvar, ale pro uplatnění Gaussova zákona musíme vybrat Gaussovu plochu, která je symetrická a má rovnoměrné rozložení náboje. Gaussův povrch může být válcový, sférický nebo rovinný.
Abychom odvodili jeho diferenciální formu, musíme použít teorém o divergenci.
Výše uvedená rovnice je diferenciální forma Gauss zákona nebo Maxwell rovnice I.
Ve výše uvedené rovnici ρ představuje objemovou hustotu náboje. Když musíme aplikovat Gaussův zákon na povrch s liniovým nábojem nebo distribucí povrchového náboje, je pohodlnější reprezentovat rovnici s hustotou náboje.
Můžeme tedy odvodit, že divergence elektrického pole nad uzavřeným povrchem poskytuje množství náboje (ρ) v něm uzavřené. Použitím divergence na vektorové pole můžeme zjistit, zda povrch uzavřený vektorovým polem funguje jako zdroj nebo propad.
Uvažujme kvádr s kladným nábojem, jak je uvedeno výše. Když použijeme divergenci na elektrické pole vycházející z pole (kvádru), výsledek matematického výrazu nám říká, že uvažovaná pole (kvádr) funguje jako zdroj vypočítaného elektrického pole. Pokud je výsledek záporný, říká nám to, že schránka funguje jako dřez, tj. Schránka v ní uzavírá záporný náboj. Pokud je divergence nulová, znamená to, že v ní není žádný poplatek.
Z toho bychom mohli odvodit, že existují elektrické monopoly.
2. Gaussův zákon magnetismu
Víme, že vedení magnetického toku proudí ze severního pólu na jižní pól externě.
Jelikož existují čáry magnetického toku způsobené permanentním magnetem, bude s ním spojená hustota magnetického toku (B). Když použijeme teorém divergence na povrch S1, S2, S3 nebo S4, vidíme, že počet čar toku přicházejících a vystupujících z vybraného povrchu zůstává stejný. Výsledek věty o divergenci je tedy nula. Dokonce i na povrchu S2 a S4 je divergence nulová, což znamená, že ani severní, ani jižní pól nepůsobí jednotlivě jako zdroj ani se nepotápí jako elektrické náboje. I když použijeme divergenci magnetického pole (B) v důsledku vodiče procházejícího proudem, ukáže se, že je nulový.
Integrální forma Gaussova zákona magnetismu je:
Diferenciální forma Gaussova zákona magnetismu je:
Z toho bychom mohli odvodit, že magnetické monopoly neexistují.
3. Faradayův zákon indukce
Faradayův zákon stanoví, že když dojde ke změně magnetického toku (měnící se s ohledem na čas) spojující cívku nebo jakýkoli vodič, bude v cívce indukován EMF. Lenz uvedl, že indukovaný EMF bude směřovat takovým způsobem, že bude proti změně magnetického toku, který jej vytváří.
Na výše uvedeném obrázku, když je vodivá deska nebo vodič přiveden pod vliv měnícího se magnetického pole, je v něm indukován cirkulující proud. Proud je indukován v takovém směru, že magnetické pole, které vytváří, je proti měnícímu se magnetu, které jej vytvořilo. Z tohoto obrázku je zřejmé, že měnící se nebo měnící se magnetické pole vytváří cirkulující elektrické pole.
Z Faradayova zákona
emf = - dϕ / dt
Víme, že, ϕ = uzavřený povrch ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS
Elektrické pole E = V / d
V = ʃ E.dl
Protože se elektrické pole mění vzhledem k povrchu (zvlnění), existuje potenciální rozdíl V.
Proto je integrální forma Maxwellovy čtvrté rovnice,
Použitím Stokeho věty,
Důvodem pro použití Stokeho věty je, že když vezmeme zvlnění rotujícího pole přes uzavřený povrch, vnitřní zvlněné složky vektoru se navzájem zruší a výsledkem bude vyhodnocení vektorového pole podél uzavřené dráhy.
Proto můžeme napsat,
Diferenciální forma Maxwellovy rovnice je
Z výše uvedeného výrazu je zřejmé, že magnetické pole měnící se s ohledem na čas vytváří cirkulující elektrické pole.
Poznámka: V elektrostatice je zvlnění elektrického pole nulové, protože vychází radiálně ven z náboje a není s ním spojena žádná rotující složka.
4. Ampereův zákon
Ampereův zákon stanoví, že když elektrický proud protéká drátem, vytváří kolem něj magnetické pole. Matematicky integrál magnetického pole kolem uzavřené smyčky dává celkový proud v něm uzavřený.
ʃ B .dl = μ 0 I uzavřeno
Jelikož se magnetické pole kroutí kolem drátu, můžeme použít Stokeovu větu na Ampérov zákon.
Proto se rovnice stává
Můžeme reprezentovat proud uzavřený z hlediska hustoty proudu J.
B = μ 0 H pomocí tohoto vztahu můžeme výraz zapsat jako
Když použijeme divergenci na zvlnění rotujícího vektorového pole, výsledek je nula. Je to proto, že uzavřený povrch nepůsobí jako zdroj ani nepropadá, tj. Počet toků přicházejících a vystupujících z povrchu je stejný. To lze matematicky vyjádřit jako,
Uvažujme o obvodu, jak je znázorněno níže.
K obvodu je připojen kondenzátor. Když použijeme divergenci v oblasti S1, výsledek ukazuje, že je nenulová. V matematické notaci
V obvodu proudí proud, ale v kondenzátoru se náboje přenášejí v důsledku změny elektrického pole přes desky. Fyzicky tedy proud neprotéká. Maxwell vytvořil tento měnící se elektrický tok jako výtlačný proud (J D). Ale Maxwell vytvořil termín Displacement Current (J D) s ohledem na symetrii Faradayova zákona, tj. Pokud magnetické pole měnící se v čase vytváří elektrické pole, pak pomocí symetrie mění elektrické pole magnetické pole.
Zvlnění intenzity magnetického pole (H) v oblasti S1 je
Integrální formu Maxwellovy čtvrté rovnice lze vyjádřit jako:
Diferenciální forma čtvrté Maxwellovy rovnice je:
Všechny tyto čtyři rovnice buď v integrální formě, nebo v diferenciální formě dohromady se nazývají Maxwellova rovnice.